Sisältö

• Askeleet
• Yhteisökysymykset ja vastaukset
• Vinkkejä
• Tarvittavat asiat

Muut osiot

Matematiikassa factoring on niiden numeroiden tai lausekkeiden etsiminen, jotka kertovat yhdessä tietyn luvun tai yhtälön muodostamiseksi. Faktorointi on hyödyllinen taito, joka on opittava algebran perusongelmien ratkaisemiseksi; kyvystä kompetenssitekijöihin tulee melkein välttämätöntä käsiteltäessä neliöyhtälöitä ja muita polynomien muotoja. Faktorointia voidaan käyttää yksinkertaistamaan algebrallisia lausekkeita ratkaisun yksinkertaistamiseksi. Factoring voi jopa antaa sinulle mahdollisuuden poistaa tietyt mahdolliset vastaukset paljon nopeammin kuin pystyisit ratkaisemalla manuaalisesti.

Askeleet

Menetelmä 1/3: Faktoriluvut ja algebralliset lausekkeet

1. 

   Ymmärrä factoringin määritelmä, kun sitä sovelletaan yksittäisiin numeroihin. Factoring on käsitteellisesti yksinkertainen, mutta käytännössä se voi osoittautua haastavaksi, kun sitä käytetään monimutkaisiin yhtälöihin. Tästä syystä faktoinnin käsitettä on helpoin lähestyä aloittamalla yksinkertaisilla numeroilla ja siirtymällä sitten yksinkertaisiin yhtälöihin, ennen kuin siirryt lopulta edistyneempiin sovelluksiin. Annettu numero tekijät ovat numeroita, jotka kertovat kyseisen numeron. Esimerkiksi kertoimet 12 ovat 1, 12, 2, 6, 3 ja 4, koska 1 × 12, 2 × 6 ja 3 × 4 ovat kaikki yhtä suuria 12.
   • Toinen tapa ajatella tätä on, että tietyn luvun tekijät ovat numerot, joilla se on tasaisesti jaettavissa.
   • Löydätkö kaikki luvun 60 tekijät? Numeroa 60 käytetään monenlaisiin tarkoituksiin (minuutit tunnissa, sekunnit minuutissa, jne.), Koska se jaetaan tasaisesti melko laajalla numeroalueella.
     • Kertoimet 60 ovat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ja 60.

2. 

   
   
   Ymmärrä, että myös muuttujalausekkeet voidaan ottaa huomioon. Aivan kuten yksinäiset luvut voidaan ottaa huomioon, niin myös numeeristen kertoimien muuttujat voidaan ottaa huomioon. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti etsimällä muuttujan kertoimen tekijät.Tietämys muuttujien tekijöistä on hyödyllistä yksinkertaistamalla algebrallisia yhtälöitä, joihin muuttujat kuuluvat.
   • Esimerkiksi muuttuja 12x voidaan kirjoittaa kertoimien 12 ja x tulona. Voimme kirjoittaa 12x muodossa 3 (4x), 2 (6x) jne. Käyttämällä mitä tahansa 12-kerrointa parhaiten tarkoituksiimme.
     • Voimme jopa mennä jopa 12x useita kertoja. Toisin sanoen meidän ei tarvitse lopettaa 3: lla (4x) tai 2: lla (6x) - voimme kertoa 4x ja 6x, jolloin saadaan 3 (2 (2x) ja 2 (3 (2x). Ilmeisesti nämä kaksi lausekkeet ovat tasa-arvoisia.

3. 

   
   
   Käytä kertolaskujakauman ominaisuutta tekijäalgebrallisissa yhtälöissä. Käyttämällä tietosi siitä, miten sekä yksinäiset numerot että muuttujat otetaan huomioon kertoimilla, voit yksinkertaistaa yksinkertaisia ​​algebrallisia yhtälöitä etsimällä tekijöitä, jotka algebrallisessa yhtälössä olevat numerot ja muuttujat ovat yhteisiä. Yleensä, jotta yhtälö olisi mahdollisimman yksinkertainen, yritämme etsiä suurinta yhteistä tekijää. Tämä yksinkertaistamisprosessi on mahdollinen kertolaskennan ominaisuuden takia, jonka mukaan minkä tahansa luvun a, b ja c kohdalla a (b + c) = ab + ac.
   • Kokeillaan esimerkki ongelmaa. Algebrallisen yhtälön 12 x + 6 laskemiseksi yritetään ensin löytää suurin yhteinen kerroin 12x ja 6. 6 on suurin luku, joka jakautuu tasaisesti sekä 12x: ksi että 6: ksi, jotta voimme yksinkertaistaa yhtälön arvoksi 6 (2x + 6) 1).
   • Tämä prosessi koskee myös yhtälöitä negatiivien ja murtolukujen kanssa. Esimerkiksi x / 2 + 4 voidaan yksinkertaistaa arvoon 1/2 (x + 8) ja -7x + -21 voidaan laskea arvoon -7 (x + 3).

Menetelmä 2/3: Neliöllisten yhtälöiden faktointi

1. 

   
   
   Varmista, että yhtälö on neliömuodossa (ax + bx + c = 0). Neliöyhtälöt ovat muodoltaan ax + bx + c = 0, missä a, b ja c ovat numeerisia vakioita eikä a ole yhtä suuri kuin 0 (huomaa, että a voi 1 tai -1). Jos sinulla on yhtälö, joka sisältää yhden muuttujan (x), jolla on yksi tai useampi x-termi toiselle voimalle, voit yleensä siirtää yhtälön termejä algebraalisten perusoperaatioiden avulla saadaksesi 0 yhtälön ja akselin toiselle puolelle, jne. toisella puolella.
   • Tarkastellaan esimerkiksi algebrallista yhtälöä. 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 voidaan yksinkertaistaa muotoon x + 6x + 9 = 0, joka on neliömuodossa.
   • Yhtälöt, joilla on suurempi x: n voima, kuten x, x jne., Eivät voi olla neliöllisiä yhtälöitä. Ne ovat kuutioyhtälöitä, toisen asteen yhtälöitä ja niin edelleen, ellei yhtälöä voida yksinkertaistaa näiden x-termien eliminoimiseksi 2: n voiman yläpuolelle.

2. 

   Neliöyhtälöissä, joissa a = 1, kerroin arvoon (x + d) (x + e), missä d × e = c ja d + e = b. Jos toisen asteen yhtälösi on muodossa x + bx + c = 0 (toisin sanoen, jos x-termin kerroin = 1), on mahdollista (mutta ei taattu), että suhteellisen yksinkertaista pikakuvaketta voidaan käyttää yhtälö. Etsi kaksi numeroa, jotka molemmat kertovat saaden c: n ja lisää tehdäksesi b. Kun löydät nämä kaksi numeroa d ja e, aseta ne seuraavaan lausekkeeseen: (x + d) (x + e). Nämä kaksi termiä kerrottuna muodostavat toisen asteen yhtälön - toisin sanoen, ne ovat neliöyhtälön tekijöitä.
   • Tarkastellaan esimerkiksi toisen asteen yhtälöä x + 5x + 6 = 0. 3 ja 2 kertovat yhdessä muodostaen 6 ja summaavat myös yhteen, jolloin saadaan 5, joten voimme yksinkertaistaa tämän yhtälön muotoon (x + 3) (x + 2).
   • Tämän peruspikakuvakkeen pienet vaihtelut ovat olemassa pienille muunnelmille yhtälössä:
     • Jos asteen yhtälö on muodossa x-bx + c, vastauksesi on tässä muodossa: (x - _) (x - _).
     • Jos se on muodossa x + bx + c, vastauksesi näyttää tältä: (x + _) (x + _).
     • Jos se on muodossa x-bx-c, vastaat muodossa (x + _) (x - _).
   • Huomaa: tyhjät numerot voivat olla murtolukuja tai desimaaleja. Esimerkiksi yhtälö x + (21/2) x + 5 = 0 kerroin arvoon (x + 10) (x + 1/2).

3. 

   Jos mahdollista, huomioi tarkastus. Uskokaa tai älkää, mutkattomien neliöllisten yhtälöiden tapauksessa yksi hyväksytyistä factoring-keinoista on yksinkertaisesti tutkia ongelmaa ja harkita sitten mahdollisia vastauksia, kunnes löydät oikean. Tätä kutsutaan myös factoringiksi tarkastuksella. Jos yhtälö on muodossa ax + bx + c ja a> 1, laskettu vastauksesi on muodossa (dx +/- _) (ex +/- _), missä d ja e ovat nollia lukemattomia vakioita, jotka kertovat tehdä. Joko d tai e (tai molemmat) voi olla numero 1, vaikka se ei välttämättä ole niin. Jos molemmat ovat 1, olet lähinnä käyttänyt yllä kuvattua pikakuvaketta.
   • Tarkastellaan esimerkkiongelmaa. 3x - 8x + 4 vaikuttaa aluksi pelottavalta. Kuitenkin, kun ymmärrämme, että 3: lla on vain kaksi tekijää (3 ja 1), siitä tulee helpompaa, koska tiedämme, että vastauksemme on oltava muodossa (3x +/- _) (x +/- _). Tässä tapauksessa -2: n lisääminen molempiin tyhjiin tiloihin antaa oikean vastauksen. -2 × 3x = -6x ja -2 × x = -2x. -6x ja -2x lisäävät -8x. -2 × -2 = 4, joten voimme nähdä, että sulkeissa olevat tekijät kertovat alkuperäiseksi yhtälöksi.

4. 

   Ratkaise täyttämällä neliö. Joissakin tapauksissa toisen asteen yhtälöt voidaan laskea nopeasti ja helposti käyttämällä erityistä algebrallista identiteettiä. Mikä tahansa muodon x + 2xh + h = (x + h) asteen yhtälö. Joten jos yhtälösi b-arvo on kaksinkertainen c-arvon neliöjuureen, yhtälösi voidaan ottaa huomioon (x + (sqrt (c))).
   • Esimerkiksi yhtälö x + 6x + 9 sopii tähän muotoon. 3 on 9 ja 3 × 2 on 6. Joten tiedämme, että tämän yhtälön laskennallinen muoto on (x + 3) (x + 3) tai (x + 3).

5. 

   Käytä kertoimien avulla toisen asteen yhtälöitä. Riippumatta siitä, miten lasket toisen asteen lausekkeen, kun se on otettu huomioon, voit löytää mahdolliset vastaukset x: n arvolle asettamalla kukin tekijä nollaksi ja ratkaisemalla. Koska etsit x: n arvoja, jotka aiheuttavat yhtälön nollaksi, x: n arvo, joka tekee jommastakin tekijästäsi nollan, on mahdollinen vastaus neliöyhtälösi.
   • Palataan yhtälöön x + 5x + 6 = 0. Tämä yhtälö otetaan huomioon (x + 3) (x + 2) = 0. Jos jompikumpi tekijöistä on yhtä suuri kuin 0, koko yhtälö on yhtä suuri kuin 0, joten mahdolliset vastauksemme x: lle ovat numeroita, jotka tekevät (x + 3) ja (x + 2) yhtä suuriksi kuin 0. Nämä luvut ovat vastaavasti -3 ja -2.

6. 

   Tarkista vastauksesi - jotkut niistä voivat olla vieraita! Kun olet löytänyt mahdolliset vastaukset x: lle, kytke ne takaisin alkuperäiseen yhtälöön ja tarkista, ovatko ne kelvollisia. Joskus löydät vastaukset ei aiheuttaa alkuperäisen yhtälön nollaksi, kun se kytketään takaisin. Kutsumme näitä vastauksia vieraita ja jättää heidät huomiotta.
   • Liitetään -2 ja -3 x + 5x + 6 = 0. Ensinnäkin -2:
     • (-2) + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0. Tämä on oikea, joten -2 on kelvollinen vastaus.
   • Kokeillaan nyt -3:
     • (-3) + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0. Tämä on myös oikea, joten -3 on myös kelvollinen vastaus.

Menetelmä 3/3: Muiden yhtälömuotojen huomioon ottaminen

1. 

   Jos yhtälö on muodossa a-b, kerro se arvoon (a + b) (a-b). Kahden muuttujan yhtälöt vaikuttavat eri tavalla kuin perus kvadratiikka. Minkä tahansa yhtälön a-b, jossa a ja b eivät ole yhtä suuret kuin 0, yhtälötekijät (a + b) (a-b).
   • Esimerkiksi yhtälö 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).

2. 

   Jos yhtälö on muodossa a + 2ab + b, kerro se arvoon (a + b). Huomaa, että jos trinomi on muodossa a-2ab + b, laskutettu muoto on hieman erilainen: (a-b).
   • Yhtälö 4x + 8xy + 4y voidaan kirjoittaa uudelleen muodossa 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Voimme nyt nähdä, että se on oikeassa muodossa, joten voimme sanoa varmuudella, että yhtälökertoimemme (2x + 2y)

3. 

   Jos yhtälö on muodossa a-b, kerro se arvoon (a-b) (a + ab + b). Lopuksi siinä mainitaan, että kuutiot ja jopa korkeamman asteen yhtälöt voidaan ottaa huomioon, vaikka factoring-prosessi muuttuu nopeasti kohtuuttoman monimutkaiseksi.
   • Esimerkiksi 8x - 27y kerroin arvoon (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)

Yhteisökysymykset ja vastaukset

Kuinka otan huomioon yksinkertaisen lisäyksen?

Etsi yhteinen tekijä kahdelle luvulle. Esimerkiksi 6 + 8, 6 ja 8 jakavat kertoimen kaksi. Voit sitten kirjoittaa sen uudeksi muodossa 2 (3 + 4).

Kuinka kerroin -24x + 4x ^ 2?

Molemmilla termeillä on 4x tekijä. Siksi -24x + 4x2 = 4x (-6 + x) = 4x (x - 6).

Voitteko osoittaa helpomman ongelman? Minulla on ongelmia kuten 42r - 18.

Etsi yhteinen kerroin 42r ja 18, esim. 6. Tämä numero menee kannattimen ulkopuolelle, joten 6 (...). Jaa sitten alkuperäiset numerosi 6: lla. Päättymme numeroon 7r-3. Tämä menee kannattimen sisäpuolelle lopullisen vastauksen tekemiseksi: 6 (7r-3). Voit tarkistaa vastauksesi laajentamalla sulkeita uudelleen: jos vastaus vastaa aloitustasi, niin vastaus on oikea!

Neliö / 4. Tämä yhtälö on osa todistetta Heronin kaavasta. Voisitko näyttää askel askeleelta, miten se otetaan huomioon?

Käytä "arvaa juuri" -menetelmää. Sano mistä se on valtava vihje. Lausekkeen tulisi olla 0, kun a + b = c (rappeutunut kolmio). Tämä tarkoittaa (a + b-c) on tekijä. Symmetrisesti (a-b + c) ja (-a + b + c) ovat myös tekijöitä. Jaa ne ulos ja katso, mitä on jäljellä.

Kuinka kerroin 4x ^ 3 + 8x?

4x (x2 + 2).

Kuinka kerroin x ^ 2 + 6x + 9?

x² + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = (x + 3) ²

Kuinka kerroin -3 - p?

Ainoa molemmille termeille yhteinen tekijä on -1. Joten -3 - p = -1 (3 + p). Voit myös kirjoittaa sen muodossa - (3 + p). Kummassakin tapauksessa arvo on sama.

Kuinka kerroin 5a + ax - 2b + by?

a (5 + x) - b (2 - y).

Mitkä ovat tekijät 2x ^ 2 - 7x-6 = 0? En voi saada sitä toimimaan minkään yllä olevan säännön mukaisesti.

Olet oikeassa, se ei vaikuta.

Kuinka teen 5a - 10av?

Molemmat termit voidaan jakaa 5: ksi ja a: ksi, joten pidämme 5a: ta kannattimen ulkopuolella: 5a (1x - 2v).

Katso lisää vastauksia

• 
  
  Kuinka otan huomioon, kun teen algebraa? Vastaus

Vinkkejä

• a-b on tekijä, a + b ei ole tekijä.
• Muista, kuinka vakiot otetaan huomioon - se voi auttaa.
• Varo murto-osia factoring-prosessissa ja työskentele niiden kanssa oikein ja huolellisesti.
• Jos sinulla on trinomiumi muodossa x + bx + (b / 2), laskutettu muoto on (x + (b / 2)). (Sinulla saattaa olla tällainen tilanne neliön valmistuttua.)
• Muista, että a0 = 0 (nollatuotteen ominaisuus).

Tarvittavat asiat

• Paperi
• Lyijykynä
• Matematiikkakirja (tarvittaessa)