Sisältö

• Askeleet
• vinkkejä

Niille, joilla on vaikeuksia matematiikassa, neliöjuuren symbolin näkeminen voi aiheuttaa vilunväristyksiä. Tämän operaattorin ongelmat eivät kuitenkaan ole niin vaikeita kuin miltä ne ilmestyvät. Joskus yksinkertaiset neliöjuuren ongelmat voivat olla yhtä helppoja kuin yksinkertainen kertolasku tai jako. Toisaalta monimutkaisemmat ongelmat voivat olla enemmän työtä. Silti oikealla lähestymistavalla ne kaikki näyttävät helpoilta. Aloita neliöjuuren ongelmien harjoittelu nyt ja oppi tämä uusi matematiikkataito radikaali!

Askeleet

Osa 1/3: Ymmärrä neliön ja neliön juurten käsite

1. 

   Ennen kuin ymmärrät neliöjuuret, ymmärrä ensin, mitä luvun neliö on. Se on helppo ymmärtää. Numeroidaksesi neliön, kerro se vain itsestään. Esimerkiksi, 3 neliö on sama kuin 3 × 3 = 9 ja 9 neliö on sama kuin 9 × 9 = 81. Neliöt on merkitty pienellä "2" korotettavan luvun oikeassa yläkulmassa, kuten tämä: 3, 9, 100 ja niin edelleen.
   • Käytä konseptia yrittämällä neliöitä muutama luku. Muista, että numeron pilkkominen kertoo sen yksinkertaisesti. Voit tehdä tämän jopa negatiivisilla numeroilla, mutta muista, että tässä tapauksessa vastaus on aina positiivinen. Esimerkiksi -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Löydä neliöjuuri löytämällä potentiaation "käänteinen". Juurisymboli (√, jota kutsutaan myös "radikaaleksi") tarkoittaa periaatteessa symbolin "vastakkaista". Kun näet radikaalin, kysy itseltäsi: “Minkä määrän voin kertoa itsestään niin, että tulos on radikaalin sisällä oleva numero?” Esimerkiksi, kun näet √ (9), yritä löytää numero, joka on ruudussa, on yhtä kuin 9. Tässä tapauksessa vastaus on kolmekoska 3 = 9.
   • Toinen esimerkki: Oletetaan 25: n neliöjuuri (√ (25)). Tämä tarkoittaa, että meidän on löydettävä luku, joka on neliö, joka on yhtä suuri kuin 25. Koska 5 = 5 × 5 = 25, voidaan sanoa, että √ (25) = 5.
   • Voit myös ajatella tätä toimintaa tapaa "peruuttaa" neliön korkeus. Esimerkiksi, jos meidän on löydettävä √ (64), 64: n neliöjuuri, meidän pitäisi ajatella 64: tä 8. Koska neliöjuuri pohjimmiltaan "peruuttaa" korkeuden neliön, voimme sanoa, että √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Ymmärrä ero täydellisten neliölukujen ja epätäydellisten neliöluvujen välillä. Toistaiseksi vastaukset neliöjuuren ongelmiin ovat olleet kokonaislukuja. Sitä ei aina tapahdu. Itse asiassa säteilytoimenpiteen tulos voi joskus johtaa pitkään, monimutkaiseen desimaaliin. Jos luvun juuri on kokonaisluku, ts. Jos se ei ole murto-osa tai desimaali, sitä kutsutaan täydellinen neliö. Kaikki yllä esitetyt esimerkit (9, 25 ja 64) ovat täydellisiä neliöitä, koska niiden juuret ovat kokonaislukuja (vastaavasti 3, 5 ja 8).
   • Toisaalta numeroita, joiden juuret eivät ole kokonaisia, kutsutaan epätäydelliset neliöt. Laskettaessa yhden näistä numeroista juuria saadaan tulos, joka on yleensä murto tai desimaali. Joskus desimaalit voivat olla melko monimutkaisia, kuten esimerkissä: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Muista ainakin 12 ensimmäistä täydellistä neliötä. Kuten olemme osoittaneet, luvun neliöjuuren laskeminen voi olla erittäin helppoa! Joten on tärkeää ottaa aikaa muistiin kymmenen ensimmäisen täydellisen neliön neliöjuureista. Niillä on taipumus esiintyä paljon testeissä, joten niiden muistaminen voi säästää paljon aikaa. Ensimmäiset 12 täydellistä neliötä ovat:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Yksinkertaista juuria mahdollisuuksien mukaan poistamalla täydelliset neliöt. Epätäydellisten neliöiden neliöjuuren löytäminen voi olla melko hankala, varsinkin jos laskuria ei ole käytettävissä (oheisissa osissa opit temppuja prosessin yksinkertaistamiseksi). Joskus on kuitenkin mahdollista yksinkertaistaa juuren sisällä olevia lukuja laskennan helpottamiseksi. Jaa vain juuren sisällä oleva luku tekijöiksi, laske sitten niiden tekijöiden juuri, jotka ovat täydellisiä neliöitä, ja kirjoita vastaus radikaalin ulkopuolelle. Tämä on helpompaa kuin miltä se näyttää. Katso alla ymmärtää paremmin!
   • Oletetaan, että sinun on löydettävä juuri 900. Aluksi se näyttää olevan melko vaikea tehtävä! Kaikki on paljon helpompaa, jos jaamme 900 tekijöihin. Luvun ”x” kertoimet ovat joukko numeroita, jotka kerrottuna johtavat “x”. Esimerkiksi, saamme 6 kertomalla 1 × 6 ja 2 × 3, joten kertoimet 6 ovat 1, 2, 3 ja 6.
   • Sen sijaan, että työskentelisimme 900: n kanssa, mikä voi olla hieman outoa, kirjoitetaan sen sijaan 9 × 100. Nyt kun 9, joka on täydellinen neliö, erotetaan 100: sta, voimme laskea sen neliöjuuren. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Eli √ (900) = 3√(100).
   • Voimme silti yksinkertaistaa vielä kaksi kertaa jakamalla 100 kertoimiksi 25 ja 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Joten voimme sanoa, että √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Käytä kuvitteellisia numeroita laskeaksesi negatiivisten lukujen juuren. Kysy itseltäsi, mikä luku kerrottuna sinänsä johtaa -16? Se ei ole 4 tai -4, koska näiden kahden numeron neliö on 16. Pitäisikö meidän antaa periksi? Itse asiassa ei ole mitään tapaa kirjoittaa -16: n tai muun negatiivisen luvun neliöjuuria käyttämällä vain reaalilukuja. Tällaisissa tapauksissa meidän on käytettävä kuvitteellisia numeroita (yleensä kirjainten tai symbolien muodossa) korvaamaan negatiivisen luvun neliöjuuri. Esimerkiksi muuttujaa "i" käytetään kuvaamaan neliöjuuren -1. Yleissääntönä, negatiivisen luvun juuri on aina kuvitteellinen luku (tai ainakin sisältää).
   • Muista, että vaikka kuvitteellisia lukuja ei voida esittää oikeilla lukuilla, niitä voidaan silti käsitellä sellaisinaan tietyillä tavoilla. Esimerkiksi negatiivisen luvun "-x" juuri, jos se on neliö, johtaa myös "-x", kuten mikä tahansa muu juuri. Eli i = -1

Osa 2/3: Pitkien jakojen kaltaisten menetelmien käyttäminen

1. 

   Käsittele neliöjuuren ongelmaa kuin se olisi pitkä jako. Siitä huolimatta, että se on vähän työlästä, voit löytää monimutkaisten epätäydellisten neliöluvujen neliöjuuren ilman laskinta. Menetelmä (tai algoritmi) on samanlainen (mutta ei sama) kuin pitkä jako. Pitkä jako on perinteinen menetelmä, jota käytetään jakamaan käsin.
   • Aloita ongelman alkuperäisestä sijainnista, joka tulee olemaan samanlainen kuin pitkä jako. Oletetaan esimerkiksi, että sinun täytyy löytää juuri 6.45, joka ei todellakaan ole täydellinen neliö. Ensin kirjoitetaan neliöjuuren symboli (√) ja sitten laitamme numeromme sen sisään. Sitten meidän on tehtävä viiva symbolista √, kunnes se peittää koko numeron, jättäen sen samanlaiseen ruutuun kuin se, missä pitkä jako jakaja on. Ero on siinä, että tässä vastaus on kyseisen ruudun yläpuolella, ei alapuolella, kuten perinteisessä jaossa. Kun olemme valmis, meillä on pitkänomainen "√" -merkki, joka kattaa koko luvun 6.45.
   • Kirjoitetaan numeroita tähän ruutuun, joten jätä tilaa.

2. 

   Ryhmitä numerot pareihin. Aloita ongelman ratkaiseminen ryhmittelemällä varren sisällä olevat numerot pareittain aloittamalla desimaalilla. Voit tehdä pieniä merkintöjä (kuten pisteitä, palkkeja, pilkuja jne.) Parien välillä erottaaksesi ne.
   • Esimerkissämme meidän pitäisi jakaa 6.45 kolmeen pariin, kuten tämä: 6-,45-00. Katso, että vasemmalla puolella on yksi numero vähemmän, joten siinä ei ole mitään ongelmaa.

3. 

   Etsi suurin numero, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin ensimmäisen "ryhmän" arvo. Aloita ensimmäisestä numeroparista vasemmalla puolella. Valitse suurin lukumäärä, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin "ryhmä". Esimerkiksi, jos ryhmä oli 37, valitse 6, koska 6 = 36 <37, mutta 7 = 49> 37. Kirjoita tämä luku ensimmäisen ryhmän yläpuolelle. Tämä on vastauksen ensimmäinen numero.
   • Esimerkissämme ensimmäinen ryhmä 6-, 45-00 on 6. Ensimmäinen suurin numero, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin 6, on 2, koska 2 = 4. Kirjoita "2" radikaalin sisällä olevan 6: n päälle.

4. 

   Katso vastauksen ensimmäinen numero (juuri löytämämme numero) ja kerro se kahdella. Kirjoita nyt tulos ensimmäisen ryhmän alle ja suorita vähennys eron löytämiseksi. Vieritä sitten seuraavaa numeroparia alaspäin lisäämällä ne juuri löydettyyn eroon. Kirjoita lopuksi vastauksen viimeinen numero kaksinkertaisena ensimmäisen vastausmerkin vasemmalle puolelle ja jätä välilyönti sen viereen.
   • Esimerkissämme ensimmäinen askel olisi löytää kaksinkertainen arvo 2, joka on vastauksen ensimmäinen numero. 2 × 2 = 4. Sitten meidän on vähennettävä 4 kuudesta (ensimmäinen "ryhmämme"), saadaan vastauksena 2. Nyt meidän on mentävä seuraavaan ryhmään (45) saadaksesi 245. Lopuksi kirjoitamme taas vasemmalle 4, jättäen oikealle puolelle pienen tyhjän tilan, kuten tämä: 4_.

5. 

   Täytä tyhjä kohta. Nyt meidän on asetettava numero tyhjän tilan sijasta vasemmalle kirjoittamasi numeron viereen. Valitse numero, jonka kerrottuna vasemmalla olevalla numerolla tyhjä tila korvataan itsellään, on maksimiarvo, mutta pienempi kuin oikealla puolella oleva numero. Tämä saattaa tuntua hiukan monimutkaiselta, joten katsotaan joitain ymmärrettäviä esimerkkejä. Jos alempi numero, joka on oikealla puolella, on 1700 ja oikealla oleva numero on 40_, täyttäisimme tyhjän luvun 4, koska 404 × 4 = 1616 <1700 ja 405 × 5 = 2025 Tässä vaiheessa löydetty numero on vastauksen toinen numero, joten voit lisätä sen varren symbolin yläpuolelle.
   • Esimerkissämme meidän on löydettävä tyhjän tilan täyttävä numero 4_ × _: ssä, mikä tekee vastauksesta niin suuren kuin mahdollista, mutta pienemmän tai yhtä suuri kuin 245. Tässä tapauksessa vastaus on 5koska 45 × 5 = 225 ja 46 × 6 = 276.

6. 

   Jatka vastausten kirjoittamista tyhjien lomakkeiden avulla. Jatka tätä muokattua pitkän jaon menetelmää, kunnes alkaa saada nollia vähentämällä radikaalista laskeva numero tai kunnes saavut halutun tarkkuuden. Kun olet valmis, numerot, joita käytetään lomakkeiden täyttämiseen jokaisessa vaiheessa (ja tietysti ensimmäinen käyttämämme numero), muodostavat vastausnumerot.
   • Jatkamalla esimerkkiäsi vähennettäisiin 225 245: stä 20: een. Sitten menemme alas numeroparilla 00 saadaksesi 2000. Kaksinkertaistamalla radikaalin yläpuolella olevat luvut, meillä on 25 × 2 = 50. Asettamalla tyhjän kappaleen arvoksi 50_ × _ = / <2000, saamme 3. Tässä vaiheessa meillä on "253" radikaalista. Toistamalla prosessia uudelleen, saat seuraavana numerona 9.

7. 

   Aseta pilkku oikeaan kohtaan vastauksessa. Vastauksen loppuun saattamiseksi meidän on silti sijoitettava desimaalin tarkkuudella oikeaan kohtaan. Tämä osa on helppoa: laita vastauksen pilkku samaan kohtaan kuin pilkku radikaalin sisällä olevassa numerossa. Esimerkiksi, jos radikaalin sisällä oleva luku on 49,8, aseta pilkku vastaukseen vastakkaiseen kohtaan, joka vastaa alla olevaa, ts. Kahden numeron välillä 9 ja 8.
   • Esimerkissämme radikaalin luku on 6,45. Aseta vastaus sijoittamalla pilkku numeroiden välille, jotka ovat yli 6 ja 4, jotka ovat tässä tapauksessa vastaavasti 2 ja 5, saadaksesi vastaus: 2,539.

Osa 3/3: Epätäydellisten neliöiden nopea arviointi

1. 

   Löydä vastaus arvioin. Kun tiedät joidenkin täydellisten neliöiden juuren, epätäydellisten neliöiden juurten löytäminen on paljon helpompaa. Edellisessä vaiheessa suosittelemme muistamaan ainakin 12 ensimmäistä täydellistä neliötä ja niiden juuret. Hyvä uutinen on, että voimme käyttää arviota saadaksesi arviota epätäydellisen neliön juuresta, joka on kahden tunnetun täydellisen neliön välissä. Tätä varten meidän on löydettävä ensimmäinen täydellinen neliö, joka on haluttua lukua suurempi ja viimeinen pienempi, niin että kyseinen luku on kahden välillä. Sitten meidän on yritettävä selvittää, kumpaan näistä kahdesta täydellisestä ruudusta halutun numeron juuri on lähimpänä.
   • Oletetaan esimerkiksi, että meidän on löydettävä 40: n neliöjuuri. Koska muistamme täydelliset neliömme, voimme sanoa, että 40 on välillä 6 - 7, ts. Välillä 36 - 49. Koska 40 on suurempi kuin 6, sen neliöjuuri on suurempi kuin 6. Samoin, koska se on alle 7, sen juuri on alle 7. 40 on vähän lähempänä 36 kuin 49, joten vastauksemme on todennäköisesti lähempänä 6. Seuraavissa vaiheissa , parannamme arvioidemme tarkkuutta.

2. 

   Lisää tarkkuus yhden desimaalin tarkkuudella. Kun olet löytänyt kaksi peräkkäistä täydellistä neliötä, jotka muodostavat alueesi, joka sisältää numerosi, yritä vain lisätä arvioiden tarkkuutta pisteeseen, joka mielestäsi on tyydyttävä. Mitä enemmän yrityksiä arvioinnin parantamiseksi yritetään, sitä suurempi tarkkuus. Aluksi arvioi ensimmäisen desimaalin arvo. Tämän arvion ei tarvitse olla oikea, mutta logiikan valitseminen todennäköisesti lähinnä vastausta olevan arvon valitsemiseksi helpottaa prosessia.
   • Esimerkissämme hyväksyttävä arvio neliöjuurelle 40 voisi olla 6,4, koska tiedämme jo, että vastaus on todennäköisesti vähän lähempänä arvoa 6 kuin 7.

3. 

   Kerro arvio itse. Ellei olet erittäin onnekas, tulos ei ole lähtö numero (esimerkissämme 40). Sinun on mukautettava arvio päästäksesi lähemmäksi oikeaa vastausta.Jos tulos ylittää aloitusnumeron (eli yli 40), kokeile pienempää arviota. Samoin, jos tulos on halutun luvun alapuolella, suurenna arviota.
   • Kerro 6.4 itsestään saadaksesi 6,4 × 6,4 = 40,96, joka on hiukan suurempi kuin alkuperäinen lukumäärä.
   • Nyt, koska arviomme oli juuri oikean arvon yläpuolella, lasketaan sitä kymmenesosalla saadaksesi 6,3 × 6,3 = 39,69. Nyt tulos oli hiukan vähemmän kuin alkuperäinen numero. Tämä tarkoittaa, että 40: n juuri on jokin luku välillä 6,3 - 6,4. Lisäksi, koska 39,69 on lähempänä 40: tä kuin 40,96, tiedämme, että juuri on lähempänä arvoa 6,3, ei 6,4.

4. 

   Jatka arvioinnin parantamista tarvittaessa. Jos olet tyytyväinen vastaukseen, käytä tässä vaiheessa arviota yhtenä ensimmäisistä likiarvoista. Jos tarvitset kuitenkin tarkempaa vastausta, yritä vain arvioida toinen desimaali, valitsemalla arvon kahden edellisen välillä (ts. välillä 6.3 ja 6.4). Tätä menetelmää käyttämällä voimme estimoida kolme desimaalia, neljä, viisi ja niin edelleen, vain vastauksen vaatiman tarkkuuden mukaan.
   • Esimerkissämme voimme valita 6.33 tehdä arvion kahden desimaalin tarkkuudella. Kerro 6,33 itsestään saadaksesi 6,33 × 6,33 = 40,0689. Koska tämä tulos oli hiukan alkuperäisen määrän yläpuolella, voimme valita hieman pienemmän arvon, kuten 6.32. Tässä tapauksessa 6,32 × 6,32 = 39,9424, tulos hieman alkunumeron alapuolella. Siksi voimme päätellä, että 40: n tarkka juuri on välillä 6.32 - 6.33. Voimme tarvittaessa jatkaa tätä menetelmää saadaksemme entistä tarkempia likiarvoja halutun numeron juurelle.

vinkkejä

• Käytä laskuria, jos tarvitset pikakorjauksen. Useimmat nykyaikaiset laskurit voivat laskea neliöjuuret heti. Kirjoita yleensä mikä tahansa numero ja paina painiketta neliöjuuren symbolilla. Jos haluat löytää esimerkiksi 841: n juuren, paina 8, 4, 1 ja sitten (√) saadaksesi vastaus: 39.