Sisältö

• Askeleet
• Yhteisökysymykset ja vastaukset
• Vinkkejä
• Varoitukset
• Tarvittavat asiat

Muut osiot

Geometria on muotojen ja kulmien tutkiminen, ja se voi olla haastavaa monille opiskelijoille. Monet käsitteet ovat täysin uusia, mikä voi johtaa aiheen ahdistukseen. Ennen kuin geometrialla on merkitystä, on opittava paljon postulaatteja / lauseita, määritelmiä ja symboleja. Yhdistämällä hyvät opintotottumukset ja muutama opinto-opas, menestyt geometrian oppimisessa.

Askeleet

Osa 1/3: Arvosanan saaminen

1. 

   Käy jokaisessa luokassa. Kurssi on aika oppia uusia asioita ja vahvistaa tietoja, jotka olet ehkä oppinut edellisellä luokalla. Jos et mene luokalle, on paljon vaikeampaa pysyä ajan tasalla materiaalista.
   • Esitä kysymyksiä luokassa. Opettajasi on paikalla varmistaakseen, että sinulla on vankka käsitys materiaalista. Jos sinulla on kysyttävää, älä epäröi kysyä sitä. Joillakin muilla luokan opiskelijoilla on todennäköisesti sama kysymys.
   • Valmistaudu luokkaan lukemalla oppitunti, jonka aiot käsitellä etukäteen, ja tiedä kaavat, lauseet ja postulaatit sydämestäsi.
   • Kiinnitä huomiota opettajaasi, kun olet luokassa. Voit puhua luokkatovereidesi tauolla tai koulun jälkeen.

2. 

   
   
   Piirrä kaavioita. Geometria on muotojen ja kulmien matematiikka. Geometrian ymmärtämiseksi on helpompi visualisoida ongelma ja piirtää sitten kaavio. Jos sinulta kysytään joistakin kulmista, piirrä ne. Suhteet, kuten pystykulmat, on paljon helpompi nähdä kaaviosta; jos sellaista ei ole, piirrä se itse.
   • Muotojen ominaisuuksien ymmärtäminen ja niiden visualisointi on välttämätöntä geometrian onnistumiselle.
   • Harjoittele muotojen tunnistamista eri suuntiin ja niiden geometristen ominaisuuksien (kulmien mitta, yhdensuuntaisten ja kohtisuorien viivojen määrä jne.) Perusteella.

3. 

   
   
   Muodosta tutkimusryhmä. Opintoryhmät ovat hyvä tapa oppia materiaalia ja selventää käsitteitä, joita et ymmärrä. Jos sinulla on ryhmä, joka kokoontuu säännöllisesti, pakotat myös pysymään ajan tasalla materiaalista ja yrittämään parhaasi mukaan ymmärtää se. Opiskelu luokkatovereiden kanssa on hyödyllistä, kun tulet vaikeimpiin aiheisiin. Voit työskennellä niiden läpi yhdessä selvittääksesi ne.
   • Yksi opintokavereistasi voi ymmärtää jotain, mitä et ymmärrä, ja auttaa sinua siinä. Saatat myös auttaa heitä ymmärtämään jotain ja oppimaan sen paremmin opettamalla heitä.

4. 

   
   
   Osaa käyttää a astelevy. Astelevy on puoliympyrän muotoinen työkalu, jota käytetään kulman asteen mittaamiseen. Sitä voidaan käyttää myös kulmien piirtämiseen. Suunnittelu asteen kuljettajan oikeaan käyttöön on olennainen taito geometriassa. Kulman asteen mittaaminen:
   • Kohdista asteen keskireikä kulman kärjen (keskipisteen) yli.
   • Käännä astetta, kunnes perusviiva on kulman yhden jalan päällä.
   • Laajenna kulma asteen kaareen asti ja kirjoita sen astetta. Tämä on kulman mittaus.

5. 

   Suorita kaikki osoitetut kotitehtävät. Kotitehtävät annetaan, koska ne auttavat sinua oppimaan kaikki materiaalin käsitteet. Kotitehtävien tekeminen opettaa sinulle, mitä todella ymmärrät ja mihin aiheisiin saatat tarvita enemmän aikaa.
   • Jos törmäät kotitehtävissäsi olevaan aiheeseen, jonka kanssa kamppailet, keskity siihen, kunnes ymmärrät sen. Pyydä luokkatovereitasi tai opettajaasi auttamaan sinua.

6. 

   Opeta materiaali. Kun sinulla on vankka käsitys aiheesta tai käsitteestä, sinun pitäisi pystyä opettamaan se jollekin muulle. Jos et voi selittää sitä heille niin, että he myös ymmärtävät, et todennäköisesti saa sitä niin hyvin kuin luulit. Materiaalin opettaminen muille on myös hyvä tapa parantaa omaa muistiasi tai palauttaa aihe muistiin.
   • Yritä opettaa sisaruksellesi tai vanhemmallesi geometriaa.
   • Ota johto tutkimusryhmässä selittääksesi jotain, jonka tiedät todella hyvin.

7. 

   Tee paljon käytännön ongelmia. Geometria on yhtä taito kuin tiedonhaara. Pelkkä geometriasääntöjen tutkiminen ei riitä A-arvon saamiseen, sinun on harjoiteltava ongelmien ratkaisemista. Tämä tarkoittaa kotitehtävien tekemistä ja ylimääräisten ongelmien tekemistä ongelmialueille.
   • Varmista, että teet niin monta käytännön ongelmaa kuin muista lähteistä. Vastaavat ongelmat voidaan muotoilla eri tavalla, mikä saattaa olla järkevämpää sinulle.
   • Mitä enemmän ongelmia ratkaiset, sitä helpompi on ratkaista ne tulevaisuudessa.

8. 

   Pyydä lisäapua. Joskus meneminen luokkaan ja puhuminen opettajasi kanssa ei riitä. Saatat joutua etsimään ohjaajan, jolla on enemmän aikaa keskittyä erityisesti mihin kamppailet. Työskentely jonkun toisen kanssa voi olla erittäin hyödyllistä vaikean materiaalin ymmärtämisessä.
   • Kysy opettajalta, onko koulun kautta tarjolla tutoreita.
   • Osallistu opettajan järjestämiin ylimääräisiin ohjaustilaisuuksiin ja kysy kysymyksiä.

Osa 2/3: Geometrian käsitteiden oppiminen

1. 

   Tunne Euclidin viisi geometrian postulaattia. Geometria perustuu muinaisen matemaatikon, Euclidin, yhdistämään viiteen postulaattiin. Näiden viiden lauseen tunteminen ja ymmärtäminen auttaa ymmärtämään monia geometrian käsitteitä.
   • 1: Suora viiva voidaan piirtää yhdistämällä kaikki kaksi pistettä.
   • 2: Mitä tahansa suoraviivaa voidaan jatkaa kumpaankin suuntaan loputtomasti suoralla.
   • 3. Ympyrä voidaan piirtää minkä tahansa viivasegmentin ympärille siten, että viivan segmentin toinen pää toimii keskipisteenä ja viivan segmentin pituus toimii ympyrän säteenä.
   • 4. Kaikki suorakulmat ovat yhtenevät (yhtä suuret).
   • 5. Kun annetaan yksi viiva ja yksi piste, vain yksi viiva voidaan piirtää suoraan ensimmäisen viivan kanssa yhdensuuntaisen pisteen läpi.

2. 

   Tunnista geometrian tehtävissä käytetyt symbolit. Kun aloitat geometrian oppimisen, eri symbolit voivat tuntua ylivoimaisilta. Kun opit, mitä kukin heistä tarkoittaa, ja pystymme tunnistamaan ne välittömästi, asia on helpompaa. Tässä on joitain yleisimpiä geometriasymboleita, joita kohtaat:
   • Pieni kolmio viittaa kolmion ominaisuuksiin.
   • Pieni kulmamuoto viittaa kulman ominaisuuksiin.
   • Kirjaimet, joissa on viiva, viittaavat viivasegmentin ominaisuuksiin.
   • Kirjaimet, joiden yläpuolella on viiva ja molemmissa päissä nuolet, viittaavat viivan ominaisuuksiin.
   • Yksi vaakasuora viiva, jonka keskellä on pystyviiva, tarkoittaa, että kaksi viivaa ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.
   • Kaksi pystysuoraa viivaa tarkoittaa, että kaksi viivaa ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa.
   • Yhtäläisyysmerkki, jonka päällä on mutkikas viiva, tarkoittaa, että kaksi muotoa on yhtenevä.
   • Terävä viiva tarkoittaa, että kaksi muotoa ovat samanlaisia.
   • Kolme pistettä, jotka muodostavat kolmion, tarkoittavat "siis".

3. 

   Ymmärrä viivojen ominaisuudet. Viiva on suora ja ulottuu loputtomasti molempiin suuntiin. Viivat piirretään nuolella loppuun osoittamaan, että ne jatkavat. Viivasegmentillä on alku- ja loppupiste. Toinen viivan muoto on nimeltään säde: se ulottuu vain äärettömästi yhteen suuntaan. Viivat voivat olla yhdensuuntaisia, kohtisuoria tai leikkaavia.
   • Kun kaksi viivaa ovat yhdensuuntaiset, ne eivät koskaan leikkaa toisiaan.
   • Kohtisuorat viivat ovat kaksi viivaa, jotka muodostavat 90 ° kulman.
   • Risteävät viivat ovat kaksi viivaa, jotka ylittävät toisiaan. Risteävät viivat voivat olla kohtisuorassa, mutta eivät koskaan voi olla yhdensuuntaisia.

4. 

   Tunne erilaiset kulmat. On kolme erilaista kulmaa: tylsä, terävä ja oikea. Tyhmä kulma on yli 90 °, terävä kulma on alle 90 ° ja suorakulma on tarkalleen 90 °. Kulmien tunnistaminen on tärkeä osa geometriaa.
   • 90 asteen kulma on myös kohtisuora kulma: viivat muodostavat täydellisen kulman.

5. 

   Ymmärrä Pythagoraan lause. Pythagoraan lauseessa todetaan, että a + b = c. Se on kaava, jonka avulla voit laskea suorakulmion sivun pituuden, jos tiedät kahden muun sivun pituudet. Suora kolmio on kolmio, jossa on yksi 90 ° kulma. Lauseessa a ja b ovat kolmion vastakkaiset ja vierekkäiset (suorat) sivut, kun taas c on kolmion hypotenuusa (kulma).
   • Esimerkiksi: Selvitä suorakulmion, jossa sivut a = 2 ja b = 3, hypotenuusin pituus.
   • a + b = c
   • 2 + 3 = c
   • 4 + 9 = c
   • 13 = c
   • c = √13
   • c = 3,6

6. 

   Pystyy tunnistamaan kolmiotyypit. Kolmioita on kolmentyyppisiä: skaala, tasasivuinen ja tasasivuinen. Skaalakolmiossa ei ole yhtäläisiä (identtisiä) sivuja eikä yhteneviä kulmia. Tasakylkisellä kolmiolla on ainakin kaksi yhtenevää sivua ja kaksi yhtenevää kulmaa. Tasasivuisella kolmiolla on kolme identtistä sivua ja kolme identtistä kulmaa. Tämäntyyppisten kolmioiden tunteminen auttaa tunnistamaan niihin liittyvät ominaisuudet ja postulaatit.
   • Muista, että tasasivuinen kolmio on teknisesti myös tasakylkinen kolmio, koska sillä on kaksi yhtenevää sivua. Kaikki tasasivuiset kolmiot ovat tasasivuisia, mutta eivät kaikki tasasivuisia kolmioita.
   • Kolmioita voidaan luokitella myös niiden kulmien mukaan: terävä, oikea ja tylsä. Akuuttien kolmioiden kulmat ovat alle 90 °; suorakulmioilla on yksi 90 ° kulma; tylpillä kolmioilla on yksi kulma, joka on yli 90 °.

7. 

   Tunne ero samanlaisten ja yhtäläisten muotojen välillä. Samanlaisia ​​muotoja ovat ne, joilla on identtiset vastaavat kulmat ja vastaavat sivut, jotka ovat suhteellisesti pienempiä tai suurempia kuin toiset. Toisin sanoen, polygonilla on samat kulmat, mutta eri sivupituudet. Kongruentit muodot ovat identtisiä; ne ovat samaa muotoa ja kokoa.
   • Vastaavat kulmat ovat identtisiä kulmia kahdessa muodossa. Suorassa kolmiossa 90 asteen kulmat molemmissa kolmioissa vastaavat. Muotojen ei tarvitse olla samankokoisia, jotta niiden kulmat vastaavat.

8. 

   Opi täydentävistä ja täydentävistä kulmista. Täydentävät kulmat ovat niitä kulmia, jotka yhdessä muodostavat 90 astetta ja täydentävät kulmat lisäävät 180 astetta. Muista, että pystykulmat ovat aina yhtenevät; samoin vaihtoehtoiset sisä- ja vaihtoehtoiset ulkokulmat ovat myös aina yhtenevät. Suorakulmat ovat 90 astetta, kun taas suorat kulmat ovat 180.
   • Pystykulmat ovat kahta kulmaa, jotka muodostavat kaksi leikkaavaa viivaa, jotka ovat suoraan vastakkain.
   • Vaihtoehtoiset sisäkulmat muodostuvat, kun kaksi viivaa leikkaa kolmannen viivan. Ne ovat linjan vastakkaisilla puolilla, jotka molemmat leikkaavat, mutta kunkin yksittäisen viivan sisäpuolella.
   • Vaihtoehtoiset ulkokulmat muodostuvat myös silloin, kun kaksi viivaa leikkaa kolmannen viivan; ne ovat linjan vastakkaisilla puolilla, jotka molemmat leikkaavat, mutta jokaisen yksittäisen viivan ulkopuolella.

9. 

   Muista SOHCAHTOA. SOHCAHTOA on muistiväline, jota käytetään muistamaan suorakolmion sini-, kosini- ja tangenttikaavat. Kun haluat löytää kulman sini-, kosini- tai tangentin, käytetään seuraavia kaavoja: Sinus = Vastakkainen / Hypotenuse, Kosini = Vieressä / Hypotenuus ja Tangentti = Vastakkainen / Vieressä.
   • Esimerkiksi: Etsi suorakulmion 39 ° kulman sini-, kosini- ja tangentti sivulta AB = 3, BC = 5 ja AC = 4.
   • sin (39 °) = vastakkainen / hypotenuus = 3/5 = 0,6
   • cos (39 °) = viereinen / hypotenuus = 4/5 = 0,8
   • rusketus (39 °) = vastapäätä / vieressä = 3/4 = 0,75

Osa 3/3: Kaksisarakkeisen todistuksen kirjoittaminen

1. 

   Piirrä kaavio ongelman lukemisen jälkeen. Joskus ongelma toimitetaan ilman kuvaa ja joudut piirtämään sen itse visualisoidaksesi todisteet. Kun sinulla on karkea luonnos, joka vastaa ongelman antoja, saatat joutua piirtämään kaavion uudelleen, jotta voit lukea kaiken selvästi ja kulmat ovat suunnilleen oikeat.
   • Muista merkitä kaikki hyvin selkeästi annettujen tietojen perusteella.
   • Mitä selkeämpi kaavio on, sitä helpompaa on ajatella todisteita.

2. 

   Tee joitain havaintoja kaaviosta. Merkitse suorat kulmat ja yhtä pitkät. Jos viivat ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa, merkitse se myös alaspäin. Jos ongelmassa ei nimenomaisesti mainita, että kaksi riviä ovat samat, pystytkö osoittamaan, että ne ovat? Varmista, että pystyt todistamaan kaikki oletuksesi.
   • Kirjoita yhteen eri viivojen ja kulmien väliset suhteet, jotka voit tehdä kaavion ja oletusten perusteella.
   • Kirjoita ongelman annokset muistiin. Kaikissa geometrisissa todisteissa on joitain tietoja, jotka ongelma antaa. Kirjoittaminen ensin muistiin voi auttaa ajattelemaan prosessin, jota tarvitaan todistamiseen.

3. 

   Virkkaa todiste taaksepäin. Kun todistat jotain geometriassa, sinulle annetaan joitain lausuntoja muodoista ja kulmista, ja sinua pyydetään sitten todistamaan, miksi nämä lauseet ovat totta. Joskus helpoin tapa tehdä tämä on aloittaa ongelman lopusta.
   • Kuinka ongelma pääsee tähän johtopäätökseen?
   • Onko olemassa muutama ilmeinen askel, joka on osoitettava tämän työn tekemiseksi?

4. 

   Tee 2 sarakkeen ruudukko, johon on merkitty lausunnot ja syyt. Vankan todistuksen tekemiseksi sinun on annettava lausunto ja annettava sitten geometrinen syy, joka todistaa lausunnon totuuden. Lausesarakkeen alle kirjoitetaan lause, kuten kulma ABC = kulma DEF. Syyn alla kirjoitat todistuksen tästä. Jos se on annettu, kirjoita yksinkertaisesti annettu, muuten kirjoita lause, joka todistaa sen.

5. 

   Määritä mitä lauseita sovelletaan todisteeseesi. Geometriassa on monia yksittäisiä lauseita, joita voidaan käyttää todisteeseesi. Näiden lauseiden perustana on monia kolmioiden, leikkaavien ja yhdensuuntaisten viivojen ja ympyröiden ominaisuuksia. Määritä mitä geometrisia muotoja työskentelet ja etsi ne, jotka soveltuvat todisteeseesi. Katso edellisistä todisteista, onko yhtäläisyyksiä. Lauseita on liian monta lueteltavaksi, mutta tässä on muutamia tärkeimpiä kolmioille:
   • CPCTC: yhtenevän kolmion vastaavat osat ovat yhtenevät
   • SSS: side-side-side: jos yhden kolmion kolme sivua ovat yhdenmukaiset toisen kolmion kolmen sivun kanssa, niin kolmiot ovat yhtenevät
   • SAS: sivukulma-puoli: jos kahdella kolmiolla on yhtenevä sivukulman puoli, niin nämä kaksi kolmiota ovat yhtäläisiä
   • ASA: kulma-sivukulma: jos kahdella kolmiolla on yhtenevä kulma-sivukulma, niin nämä kaksi kolmiota ovat yhtäläisiä
   • AAA: kulma-kulma-kulma: kolmiot, joissa on yhtenevät kulmat, ovat samanlaisia, mutta eivät välttämättä yhteneviä

6. 

   Varmista, että askeleesi kulkevat loogisesti. Kirjoita nopea luonnos vedoskuvastasi. Kirjoita jokaisen vaiheen syyt muistiin. Lisää annetut lauseet mihin ne kuuluvat, ei vain kerralla alussa. Järjestä vaiheet tarvittaessa uudelleen.
   • Mitä enemmän todisteita teet, sitä helpompaa on tilata vaiheet oikein.

7. 

   Kirjoita johtopäätös viimeiseksi riviksi. Viimeisen vaiheen pitäisi täydentää todisteesi, mutta se tarvitsee vielä syyn sen perustelemiseksi.Kun olet valmis todisteen, katso se läpi ja varmista, ettei perusteluissasi ole aukkoja. Kun olet todennut, että todiste on terve, kirjoita QED oikeaan alakulmaan osoittamaan, että se on täydellinen.

Yhteisökysymykset ja vastaukset

Mikä on hyvä tapa oppia kulmien, tangenttien ja poikittaisten käsitteet?

Se on matematiikkaa, joten se vaatii harjoittelua. Yritä harjoittaa sitä vähintään tunti päivässä. Yritä ensin oppia kaikki käsitteet ja sitten siirtyä suoraan yhtälöiden ratkaisemiseen. Et olisi heti täydellinen, koska matematiikan oppiminen vie aikaa. On myös tunnettava kaikki peruskäsitteet.

Miksi olen kauhea kaikenlaisessa matematiikassa?

Jotkut ihmiset ajattelevat matemaattisesti; toiset ovat mukavampia muissa harrastuksissa. Jos matematiikka ei ole alueesi, löydät jotain muuta. Jatka matematiikan etsimistä, kunnes löydät jonkun, jonka selitykset ovat sinulle järkeviä.

Kuinka nopeasti voin suorittaa geometrian normaalin opetussuunnitelman ulkopuolella? (Khan Academy, verkkolähteet.)

Se riippuu siitä, kuinka kunnianhimoinen ja omistautunut olet. Voisit todennäköisesti tehdä sen muutamassa kuukaudessa, jos todella työskentelisit sen parissa.

Vinkkejä

• Opiskele joka päivä. Tarkista tämän päivän muistiinpanot, eiliset muistiinpanot ja aina, mitä olet oppinut aiemmin, jotta et unohda mitään postulaatteja / lauseita, määritelmiä tai symboleja / merkintöjä.
• Katso muilta verkkosivustoilta ja videoista asioita, joita et ymmärrä.
• Pidä muistikortteja, joissa on kaavoja, muistamaan ne ja tarkistamaan niitä usein.
• Hanki useiden geometrialuokkasi ihmisten puhelinnumerot ja sähköpostit, jotta he voivat auttaa sinua kotona opiskellessasi.
• Ota luokka etukäteen kesällä, jotta sinun ei tarvitse tehdä kovaa työtä lukuvuoden aikana.
• Mietiskellä. Tämä auttaa.

Varoitukset

• Älä viivytä
• Älä täytä.

Tarvittavat asiat

• Suora reuna
• Kompassi
• Tieteellinen laskin
• Ruutupaperi
• Kulmamutteri
• Lyijykynät (kaikki työt tulisi tehdä lyijykynällä)
• Korostustyökalu
• Värikynät